第二讲：相似三角形的断定
相似三角形定义
1. 判断对错：
两个直角三角形肯定相似吗？为何？
两个等腰三角形肯定相似吗？为何？
两个等边三角形肯定相似吗？为何？
角对应相等、边对应成比率，三角形相似
三角形一边的平行线与另外两边所在的直线相交所得到的的新三角形与原三角形相似
2、在
中，
，
的延长线交
的延长线于
， 求证：
．
三条边对应成比率，两三角形相似
3.如图所示，假如
分别在
上，且
．求证：
．
4、如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与
一样的是哪一个？
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
两角对应相等，两三角形相似
6、如图所示，
,
交于点
为上一点，且
．求证：（1）
；（2）
．
7、如图；已知梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC。
求证：（1）△ABD ∽△DCB （2）BD2=AD·BC
8、已知：如图，，
，
，当BD与a、b之间满足什么样的关系时，这两个三角形相似？
两边对应成比率且夹角相等，三角形相似
9.已知，如图，为内一点连结
，以为边在外作．
求证：．
10、在和
中，
，假如的周长是
，面积是，那样的周长、面积依次为__________．
11、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，
，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
12、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=__________．
13、如图，正方形ABCD和等腰Rt，其中
，G是CD与EF的交点．
（1）求证：
≌
．
（2）若，，
，求
的值．
14、如图，在直角梯形中，
，为上一点，以
为顶点的三角形与以
为顶点的三角形相似，那样如此的点有几个？为何？
相似三角形的断定办法总结：
1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2. 三边成比率的两个三角形相似.（SSS）
3. 两边成比率且夹角相等的两个三角形相似.
4. 两角分别相等的两个三角形相似.
5. 斜边和一条直角边成比率的两个直角三角形相似
“反A”型与“反X”型.
示意图 | 结论 |
| 反A型： 如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，则△ADE∽△ACB（AA），∴AE·AC=AD·AB. 若连CD、BE，进而能证明△ACD∽△ABE |
| 反X型： 如图，已知角∠BAO=∠CDO，则△AOB∽△DOC（AA），∴OA·OC=OD·OB. 若连AD，BC，进而能证明△AOD∽△BOC. |
“类射影”与射影模型
示意图 | 结论 |
| 类射影： 如图，已知△ABC，∠ABD=∠C，则△ABD∽△ACB（AA），∴ |
| 射影定理 如图，已知∠ACB=90°，CH⊥AB于H，则 |
“旋转相似”与“一线三等角”
示意图 | 结论 |
| 旋转相似： 如图，已知△ABC∽△ADE，则 ∴△BAD∽△CAE（SAS） |
| 一线三等角： 如图，已知∠A=∠C=∠DBE，则△DAB∽△BCE（AA） |
，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
15、已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）
（2）∠BEO=∠CFO， ∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB
16、如图，已知
，求证：
方法1、三点定型
17、如图，平行四边形中，
是延长线上的一点，交于
，求证：．
18.如图，中，
，为的中点，
交
的延长线于，交于．求证：
方法2、等线段代换
19.如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：
21.如图，四边形是平行四边形，点在边的延长线上，
交于，
．求证：．
21.如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：
方法3、等比代换
22.如图，平行四边形中，过
作直线、于，、交
的延长线于，求证：．
23.如图，在中，已知时，于，为直角边的中点，过、作直线交的延长线于．求证：．
方法4、等积代换
24.如图，中，、是高，于、交于
、交的延长线于．求证：．
24.如图，在
中，于，于，于，连EF，求证：∠AEF=∠C
25.如图，在中，，为中点，
，为垂足，求证：．
方法5、证等量先证等比
26.已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF//AC，BE、BF分别交AC于M、N.，求证：AM=CN.
27.已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE，过A点的直线分别交BD、CE于D、E. 求证：AM=NC，MN//DE.
28.如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK//BD，MN//AC，分别交AD、BC于K、N，连KN，分别交对角线AC、BD于P、Q，求证：KP=QN.
方法6、几何计算
29.如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.（1）求证：AH=BH，（2）若∠BAC=60°，求
的值.
30.如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α. 求证：（1）EF＋EG＝AE （2）求证：CE＋CG＝AF
31、如图，已知在△ABC中，AE=AC，AH⊥CE，垂足K，BH⊥AH，垂足H，AH交BC于D。求证：△ABH ∽△ACK
32、如图；以DE为轴，折叠等边△ABC，顶点A正好落在BC边上F点，求证；△DBF ∽△FCE
33、△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，D是BC上一点，且BD=BA。求证；△ABC ∽△DAC
34、如图，已知AB//EF//CD。若AB=a, CD=b , EF=c, 求证；
35、如图；在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D求证：
